Question

已知圓C的方程為x²+y²=4，過點M（2，4）作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右頂點和上頂點．
（1）求橢圓T的方程；
（2）已知直線l與橢圓T相交于P，Q兩不同點，直線l方程為，O為坐標(biāo)原點，求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用點到直線的距離公式，求得另一條切線方程，與圓方程聯(lián)立，從而可得直線AB的方程，由此可求橢圓T的方程；
（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理求出|PQ|，求出原點到直線l的距離，表示出三角形的面積，進而利用基本不等式，即可求得△OPQ面積的最大值．
解答：解：（1）由題意：一條切線方程為：x=2，設(shè)另一條切線方程為：y-4=k（x-2）．．（2分）
則：，解得：，此時切線方程為：
切線方程與圓方程聯(lián)立，可得x²+（）²=4，從而可得，
則直線AB的方程為x+2y=2…．（4分）
令x=0，解得y=1，∴b=1；令y=0，得x=2，∴a=2
故所求橢圓方程為…．（6分）
（2）聯(lián)立整理得，
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，，
，即：2k²-1＞0…．．（8分）
又原點到直線l的距離為，，…．．（10分）
∴
=
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則△OPQ面積的最大值為1．            …．．（12分）
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓相切，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，正確表示三角形的面積是關(guān)鍵．