Question

18．已知雙曲線C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，點(diǎn)P是拋物線y²=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P到雙曲線C的上焦點(diǎn)F₁（0，c）的距離與到直線x=-1的距離之和的最小值為$\sqrt{6}$，則該雙曲線的方程為（　�。�

• A． $\frac{{y}^{2}}{2}-\frac{{x}^{2}}{3}$=1
• B． y²-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1
• C． $\frac{{y}^{2}}{4}$-x²=1
• D． $\frac{{y}^{2}}{3}-\frac{{x}^{2}}{2}$=1

Answer 1

分析 由題意可知：P到準(zhǔn)線的距離即為P到焦點(diǎn)的距離為|PF|，可得|PF|+|PF₁|的最小值為$\sqrt{6}$，當(dāng)P，F(xiàn)，F(xiàn)₁三點(diǎn)共線，可得最小值|FF₁|=$\sqrt{1+{c}^{2}}$=$\sqrt{6}$，即可求得c，根據(jù)橢圓的離心率即可求得a和b的值，求得雙曲線方程．

解答 解：拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線的方程為x=-1，
曲線C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
由P到雙曲線C的上焦點(diǎn)F₁（0，c）的距離與到直線x=-1的距離之和的最小值為$\sqrt{6}$，
由拋物線的定義可得P到準(zhǔn)線的距離即為P到焦點(diǎn)的距離為|PF|，
可得|PF|+|PF₁|的最小值為$\sqrt{6}$，
當(dāng)P，F(xiàn)，F(xiàn)₁三點(diǎn)共線，可得最小值|FF₁|=$\sqrt{1+{c}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
即有c=$\sqrt{5}$，
由c²=a²+b²，
解得a=2，b=1，
即有雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$-x²=1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，拋物線的定義，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．