Question

（在下列兩題中任選一題，若兩題都做，按第①題給分）
①在直角坐標(biāo)系中圓C的參數(shù)方程為

x=2cosα y=2+2sinα

（α為參數(shù)），若以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則圓C的極坐標(biāo)方程為

ρ=4sinθ

．
②已知關(guān)于x的不等式|x+a|+|x-1|+a＜2011（a是常數(shù)）的解是非空集合，則a的取值范圍是

（-∞，1005）

．

Answer 1

分析：①圓C的普通方程為x²+y²=4y，由x²+y²=ρ²，4y=4ρsinθ，能求出圓C的極坐標(biāo)方程為 ρ=4sinθ．
②當(dāng)x≥-a時(shí)，原式=x+2a+|x-1|＜2011，當(dāng)x＞1時(shí)，2x+2a-1＜2011，2x+2a＜2012，a＜1006-x＜1005．當(dāng)x=1時(shí)，1+2a＜2011，a＜1005．當(dāng)x＜1時(shí)，2a+1＜2011，a＜1005．當(dāng)x＜-a時(shí)，原式=|x-1|-x＜2011，不等式恒成立．由此能求出a的取值范圍．

解答：解：①∵圓C的參數(shù)方程為

x=2cosα y=2+2sinα

（α為參數(shù)），
∴圓C的普通方程為x²+（y-2）²=4，
即x²+y²=4y，
∵x²+y²=ρ²，4y=4ρsinθ，
∴圓C的極坐標(biāo)方程為 ρ=4sinθ．
故答案為：ρ=4sinθ．
②當(dāng)x≥-a時(shí)，原式=x+2a+|x-1|＜2011，
當(dāng)x＞1時(shí)，2x+2a-1＜2011，
2x+2a＜2012，
a＜1006-x＜1005．
當(dāng)x=1時(shí)，1+2a＜2011，
a＜1005．
當(dāng)x＜1時(shí)，2a+1＜2011，
a＜1005．
當(dāng)x＜-a時(shí)，原式=|x-1|-x＜2011，
不等式恒成立．
綜上所述，a＜1005．
故答案為：（-∞，1005）．

點(diǎn)評：第①考查圓的參數(shù)方程、普通方程和極坐標(biāo)方程的相互轉(zhuǎn)化，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．
第②考查含參數(shù)的絕對值不等式的解法，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的靈活運(yùn)用．