Question

（文科）設(shè)函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并求函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（2）若當(dāng)x∈[a+1，a+2]時(shí)，不等式|f'（x）|≤a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=-（x-3a）（x-a）
∵0＜a＜1，∴由f′（x）＞0可得a＜x＜3a；由f′（x）＞0可得x＜a或x＞3a
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（a，3a），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，a）和（3a，+∞）
∴函數(shù)f（x）的極大值為f（3a）=b，極小值為f（a）=-
（2）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=-（x-2a）²+a²，
∵0＜a＜1，∴a+1＞2a
∴函數(shù)f′（x）在[a+1，a+2]上單調(diào)遞減
∴f′（x）_max=f′（a+1）=2a-1，f′（x）_min=f′（a+2）=4a-4
∵不等式|f'（x）|≤a恒成立，
∴
∴
∵0＜a＜1
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)0＜a＜1，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由此可得函數(shù)f（x）的極值；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)f′（x）在[a+1，a+2]上單調(diào)遞減，求出函數(shù)的最值，將不等式|f'（x）|≤a恒成立，轉(zhuǎn)化為不等式組，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查不等式恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．