Question

如圖所示，兩個(gè)非共線向量

OA

，

OB

的夾角為θ，M、N分別為OA與OB的中點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，且

OC

=x

OA

+y

OB

（x，y∈R），則x²+y²的最小值為（　　）

• A．

  2

  4

• B．

  1

  8

• C．

  2

  2

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：法一：特殊值法，當(dāng)θ=90°，|

OA

|=|

OB

|=1時(shí)，建立直角坐標(biāo)系，得x+y=

1

2

，所以x²+y²的最小值為原點(diǎn)到直線的距離的平方；
解法二：因?yàn)辄c(diǎn)C、M、N共線，所以

OC

=λ

OM

+μ

ON

，有λ+μ=1，由M、N分別為OA與OB的中點(diǎn)，可得x+y=

1

2

λ+

1

2

μ=

1

2

，下同法一

解答：解法一：特殊值法，當(dāng)θ=90°，|

OA

|=|

OB

|=1時(shí)，建立直角坐標(biāo)系，
∴

OC

=x

OA

+y

OB

得x+y=

1

2

，所以x²+y²的最小值為原點(diǎn)到直線的距離的平方；
解法二：因?yàn)辄c(diǎn)C、M、N共線，所以

OC

=λ

OM

+μ

ON

，有λ+μ=1，
又因?yàn)镸、N分別為OA與OB的中點(diǎn)，
所以

OC

=λ

OM

+μ

ON

=

1

2

λ

OA

+

1

2

μ

OB

∴x+y=

1

2

λ+

1

2

μ=

1

2

原題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x+y=

1

2

時(shí)，求x²+y²的最小值問題，
∵y=

1

2

-x
∴x²+y²=x2+(

1

2

-x)2=2x2-x+

1

4

結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x=

1

4

時(shí)，取得最小值為

1

8

故選B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面向量的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是向量共線定理的應(yīng)用及結(jié)論“點(diǎn)C、M、N共線，所以

OC

=λ

OM

+μ

ON

，有λ+μ=1“的應(yīng)用