Question

已知圓M：（x-）²+y²=r²=r²（r＞0）．若橢圓C：+=1（a＞b＞0）的右頂點為圓M的圓心，離心率為．
（I）求橢圓C的方程；
（II）若存在直線l：y=kx，使得直線l與橢圓C分別交于A，B兩點，與圓M分別交于G，H兩點，點G在線段AB上，且|AG|=|BH|，求圓M半徑r的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)橢圓的焦距為2c，由橢圓右頂點為圓心可得a值，進(jìn)而由離心率可得c值，根據(jù)平方關(guān)系可得b值；
（II）由點G在線段AB上，且|AG|=|BH|及對稱性知點H不在線段AB上，所以要使|AG|=|BH|，只要|AB|=|GH|，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程與橢圓方程消掉y得x的二次方程，利用韋達(dá)定理及弦長公式可得|AB|，在圓中利用弦心距及勾股定理可得|GH|，根據(jù)|AB|=|GH|得r，k的方程，分離出r后按k是否為0進(jìn)行討論，借助基本函數(shù)的范圍即可求得r范圍；
解答：解：（I）設(shè)橢圓的焦距為2c，
由橢圓右頂點為圓M的圓心（，0），得a=，
又，所以c=1，b=1．
所以橢圓C的方程為：．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直線l與橢圓C交于兩點A，B，則，
所以（1+2k²）x²-2=0，則x₁+x₂=0，，
所以=，
點M（，0）到直線l的距離d=，
則|GH|=2，
顯然，若點H也在線段AB上，則由對稱性可知，直線y=kx就是y軸，矛盾，

所以要使|AG|=|BH|，只要|AB|=|GH|，
所以=4，
==2，
當(dāng)k=0時，r=，
當(dāng)k≠0時，＜2（1+）=3，
又顯然＞2，所以，
綜上，．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查分類討論思想，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，弦長公式、韋達(dá)定理是解決該類問題的基礎(chǔ)知識，要熟練掌握．