Question

18．若tan（$α+\frac{π}{3}$）=2$\sqrt{3}$，則tan（$α-\frac{2π}{3}$）的值是2$\sqrt{3}$，2sin²α-cos²α 的值是-$\frac{43}{52}$．

Answer 1

分析 利用兩角和差的正切公式、誘導(dǎo)公式求得tanα的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得要求式子的值．

解答 解：∵tan（$α+\frac{π}{3}$）=2$\sqrt{3}$，
則tan（$α-\frac{2π}{3}$）=tan[（$α+\frac{π}{3}$）-π]=tan（$α+\frac{π}{3}$）=2$\sqrt{3}$，
∵tan（$α+\frac{π}{3}$）=$\frac{tanα+tan\frac{π}{3}}{1-tanα•tan\frac{π}{3}}$=$\frac{tanα+\sqrt{3}}{1-tanα•\sqrt{3}}$=2$\sqrt{3}$，∴tanα=$\frac{\sqrt{3}}{7}$，
∴2sin²α-cos²α=$\frac{{2sin}^{2}α{-cos}^{2}α}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$=$\frac{{2tan}^{2}α-1}{{tan}^{2}α+1}$=-$\frac{43}{52}$，
故答案為：$2\sqrt{3}$，$-\frac{43}{52}$；

點評 本題主要考查兩角和差的正切公式、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．