Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²-（a+1）x+b
（1）若b=-1，函數(shù)y=f（x）在x∈[2，3]上有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍
（2）若a=b，且?a∈[2，3]都有f（x）＜0成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）b=-1時(shí)，f（x）=x²-（a+1）x-1，由f（0）=-1，f（x）在[2，3]有一個(gè)零點(diǎn)，則$\left\{\begin{array}{l}{f（2）≤0}\\{f（3）≥0}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）令g（a）=（1-x）a+x²-x，a∈[2，3]，看做一次函數(shù)，利用單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）b=-1時(shí)，f（x）=x²-（a+1）x-1，
∵f（0）=-1，若f（x）在[2，3]有一個(gè)零點(diǎn)，則$\left\{\begin{array}{l}{f（2）≤0}\\{f（3）≥0}\end{array}\right.$，得出$\frac{1}{2}≤a≤\frac{5}{3}$．
∴a的取值范圍是$\frac{1}{2}≤a≤\frac{5}{3}$．
（2）令g（a）=（1-x）a+x²-x，a∈[2，3]，
∵g（a）＜0，∴$\left\{\begin{array}{l}g（2）＜0\\ g（3）＜0\end{array}\right.$，
得出：1＜x＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．