已知橢圓的離心率為
,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線
相切,過(guò)點(diǎn)P(4,0)且不垂直于x軸直線
與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)求的取值范圍;
(3)若B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是E,證明:直線AE與x軸相交于定點(diǎn).
(1);(2)
;(3)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析.
解析試題分析:本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,考查運(yùn)算求解能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力.第一問(wèn),利用離心率及解出
和
得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;第二問(wèn),先設(shè)出直線
的方程,因?yàn)橹本€與橢圓相交,消參得關(guān)于
的方程,因?yàn)橄嘟挥?個(gè)交點(diǎn),所以
得到
的取值范圍,設(shè)出
點(diǎn)坐標(biāo),則求出兩根之和、兩根之積及
,所以
,將上述的條件代入,得到
的表達(dá)式,求最值;第三問(wèn),先通過(guò)對(duì)稱,得到點(diǎn)
的坐標(biāo),列出直線
的方程,令
,得
的值正好得1,所以得證.
試題解析:(1)解:由題意知,∴
,即
,
又,∴
,
故橢圓的方程為 . 2分
(2)解:由題意知直線的斜率存在,設(shè)直線
的方程為
,
由得:
, 4分
由得:
,
設(shè)A(x1,y1),B (x2,y2),則 �、�
∴,
∴
∵,∴
,∴
,
∴的取值范圍是
.
(3)∵兩點(diǎn)關(guān)于
軸對(duì)稱,∴
,
直線的方程為
,令
得:
又,
,∴
,
由將①代入得:,∴直線
與
軸交于定點(diǎn)
.
考點(diǎn):1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;2.橢圓的離心率;3.直線與橢圓的位置關(guān)系;4.兩根之和、兩根之積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)已知橢圓的離心率為
,
在橢圓C上,A,B為橢圓C的左、右頂點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程:
(2)若P是橢圓上異于A,B的動(dòng)點(diǎn),連結(jié)AP,PB并延長(zhǎng),分別與右準(zhǔn)線相交于M1,M2.問(wèn)是否存在x軸上定點(diǎn)D,使得以M1M2為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)D?若存在,求點(diǎn)D的坐標(biāo):若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),短軸長(zhǎng)為4,且有一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M(2,0)且斜率不為0的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn),試問(wèn)在x軸上是否另存在一個(gè)定點(diǎn)P使得
始終平分
?若存在求出
點(diǎn)坐標(biāo);若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓的中心為直角坐標(biāo)系
的原點(diǎn),焦點(diǎn)在
軸上,它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1.
(1)求橢圓的方程;
(2)若為橢圓
的動(dòng)點(diǎn),
為過(guò)
且垂直于
軸的直線上的點(diǎn),
(
為橢圓的離心率),求點(diǎn)
的軌跡方程,并說(shuō)明軌跡是什么曲線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在直角坐標(biāo)系中,已知中心在原點(diǎn),離心率為
的橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)為圓
的圓心.
⑴求橢圓E的方程;
⑵設(shè)P是橢圓E上一點(diǎn),過(guò)P作兩條斜率之積為的直線
,當(dāng)直線
都與圓
相切時(shí),求P點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知拋物線y2=-x與直線y=k(x+1)交于A、B兩點(diǎn).
(1)求證:OA⊥OB;
(2)當(dāng)DAOB的面積等于時(shí),求k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知?jiǎng)訄A經(jīng)過(guò)點(diǎn),且和直線
相切,
(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程;
(2)已知曲線C上一點(diǎn)M,且5,求M點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是
,離心率
,
為橢圓上任一點(diǎn),且
的最大面積為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)斜率為的直線
交橢圓
于
兩點(diǎn),且以
為直徑的圓恒過(guò)原點(diǎn)
,若實(shí)數(shù)
滿足條件
,求
的最大值.
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