Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-2，e≈2.718285．
（I）求函數(shù)f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；
（II）存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（III）證明：對一切x∈（0，+∞），都有成立．

Answer 1

解：（I）f′（x）=lnx+1，
當單調(diào)遞減，
當單調(diào)遞增，
所以，即時，；
，即時，f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（t）=tlnt，
綜上得
（II）xlnx≥-x²+ax-2，∴
設(shè)，
∴
x∈[1，e]，h′（x）≥0，h（x）單調(diào)遞增，
∴存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，即
（III）問題等價于證明成立
由（I）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是，當且僅當時取到
設(shè)（x∈（0，+∞））
∴，可解得函數(shù)在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)
∴，
分析可得有-1＜-，即（xlnx）_min＞（-1）_max，
則成立；
從而對一切x∈（0，+∞），都有成立．
分析：（I）求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=lnx+1，令其等于0，則，由于x∈[t，t+1]（t＞0），故進行分類討論，即，，從而確定函數(shù)f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；
（II）由題意，并分離參數(shù)得xlnx≥-x²+ax-2，，因為存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，故有
（III）問題等價于證明，分別求左邊的最小值，右邊的最大值，從而問題得證．
點評：本題主要考查了函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力．