Question

四棱錐P-ABCD中，棱長PD=a，底面ABCD是邊長為a的菱形，點(diǎn)M為PB中點(diǎn)
（1）若∠BCP=90°，證明：MD⊥PC；
（2）若∠BCD=90°，∠PDA=PDC=60°，求二面角B-PD-A的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取PC中點(diǎn)N，連接MN，DN，則MN∥BC，證明PC⊥平面MND，即可得出結(jié)論；
（2）令A(yù)C∩BD=O，則PO⊥平面ABCD，作OQ⊥PD，連接AQ，則∠AQO為二面角B-PD-A的平面角，利用余弦定理，即可得出結(jié)論．

解答： （1）證明：取PC中點(diǎn)N，連接MN，DN，則MN∥BC，
∵∠BCP=90°，∴MN⊥PC，
∵DP=DC，
∴DN⊥PC，
∵M(jìn)N∩DN=N，
∴PC⊥平面MND，
∵M(jìn)D?平面MND，
∴MD⊥PC；
（2）解：由題意，底面ABCD為正方形，△PAD與△PCD為正三角形，
令A(yù)C∩BD=O，則PO⊥平面ABCD，
作OQ⊥PD，連接AQ，則∠AQO為二面角B-PD-A的平面角，
由題意，AO=

2

2

a，AQ=

3

2

a，OQ=

a

2

，
∴cos∠AQO=

3 4 a2+ a2 4 - a2 2

2× 3 2 a× a 2

=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查二面角的平面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．