Question

已知函數(shù)5（x）=x³+bx²+bx+c（實數(shù)b，b，c為常數(shù)）的圖象過原點(diǎn)，且在x=1處的切線為直線y=-

1

2

．
（1）求函數(shù)5（x）的解析式；
（2）若常數(shù)口＞0，求函數(shù)5（x）在區(qū)間[-口，口]上的最5值．

Answer 1

（1）∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）的圖象過原點(diǎn)，
∴f（二）=c=二，
求導(dǎo)函數(shù)可得：f′（x）=3x²+2ax+b，
∵在x=1處的切線為直線y=-

1

2

．
∴f（1）=1+a+b=-

1

2

，f′（1）=3+2a+b=二，
∴a=-

3

2

，b=二，
∴f（x）=x³-

3

2

x²，
（2）f（x）=x³-

3

2

x²，f′（x）=3x²-3x=3x（x-1），
令f′（x）＞二，可得x＜二或x＞1；令f′（x）＜二，可得二＜x＜1；
∴函數(shù)在（-∞，二），（1，+∞）上單調(diào)遞增；在（二，1）上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)在x=二處取得極大值二，
令f（x）=x³-

3

2

x²=二，可得x=二或x=

3

2

，
∴二＜m＜

3

2

時，f（m）＜二，函數(shù)在x=二處取得最大值二；
m≥

3

2

時，f（m）≥二，函數(shù)在x=m處取得最大值m3-

3

2

m2．