Question

橢圓

x2

16

+

y2

m

=1過點(diǎn)（2，3），橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)F₁、F₂的距離之差為2，
（1）求橢圓方程
（2）試判斷△PF₁F₂的形狀．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程求得m的值，從而得出橢圓的方程；
（2）由橢圓定義知，|PF₁|與|PF₂|的和為定值，且二者之差為題設(shè)條件，故可求出△PF₁F₂的兩邊．

解答：解：（1）∵橢圓

x2

16

+

y2

m

=1過點(diǎn)（2，3），
∴

22

16

+

32

m

=1
∴m=12，
∴橢圓方程為：

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）：由|PF₁|+|PF₂|=8，|PF₁|-|PF₂|=2，解得|PF₁|=5，|PF₂|=3．
又|F₁F₂|=4，故滿足|PF₂|²+|F₁F₂|²=|PF₁|²．
∴△PF₁F₂為直角三角形．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、三角形的形狀判斷．要特別注意對于橢圓的焦點(diǎn)弦問題常需借助橢圓的定義來解決．