Question

四邊形ABCD為矩形，∠AEB=

π

2

，BC⊥平面ABE，BF⊥CE，垂足為F．
（1）求證：BF⊥平面AEC；
（2）已知AB=2BC=2BE=2，在線段DE上是否存在點(diǎn)P，使二面角P-AC-E為直二面角，如果存在，請確定P點(diǎn)的位置．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，過點(diǎn)A垂直于平面ABE的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明BF⊥平面AEC．
（2）設(shè)

DP

=t

DE

，分別求出平面APC的法向量和平面AEC的法向由此能求出存在點(diǎn)P，且DP=

1

3

DE．

解答： （1）證明：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，過點(diǎn)A垂直于平面ABE的直線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），
D（0，0，1），E（

3

2

，

3

2

，0），F(xiàn)（

3

4

，

7

4

，

1

2

），
∴

BF

=（

3

4

，-

1

4

，

1

2

），

AC

=（0，2，1），

AE

=（

3

2

，

3

2

，0），
∴

BF

•

AC

=0，

BF

•

AE

=0，
∴BF⊥AC，BF⊥AE，
∵AC∩AE=A，∴BF⊥平面AEC．
（2）設(shè)

DP

=t

DE

，∴P（

3

2

t，

3

2

t，-t），∴

AP

=(

3

2

t，

3

2

t，1-t)，
設(shè)平面APC的法向量為

n

=(x，y，z)，∵

AC

=(0，2，1)，
∴

3t 2 x+ 3t 2 y+(1-t)z=0 2y+2=0

，
令y=1，得z=-2，x=

2- 7t 2

3 t 2

，
∵平面AEC的法向量

BF

=(

3

4

，-

1

4

，

1

2

)，二面角P-AC-E為直二面角，
∴

2- 7t 2

3 t 2

•

3

4

-

1

4

-1=0，解得t=

1

3

，
∴存在點(diǎn)P，且DP=

1

3

DE．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．