Question

【題目】如果函數(shù)f（x）= （m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在區(qū)間[ ,2]上單調遞減，那么mn的最大值為（ ）
A.16
B.18
C.25
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵函數(shù)f（x）= （m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在區(qū)間[ ,2]上單調遞減，∴f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在[ ，2]上恒成立．而（m﹣2）x+n﹣8是一次函數(shù)，在[ ，2]上的圖象是一條線段．故只須在兩個端點處f′（ ）≤0，f′（2）≤0即可．即

由（2）得m≤ （12﹣n），
∴mn≤ n（12﹣n）≤ =18，當且僅當m=3，n=6時取得最大值，經(jīng)檢驗m=3，n=6滿足（1）和（2）．
故選：B．
解法二：
∵函數(shù)f（x）= （m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在區(qū)間[ ,2]上單調遞減，
∴①m=2，n＜8
對稱軸x=﹣ ，
② 即
③ 即
設 或 或

設y= ，y′= ，
當切點為（x0 ， y0），k取最大值．
①﹣ =﹣2．k=2x ，
∴y0=﹣2x0+12，y0= =2x0 ， 可得x0=3，y0=6，
∵x=3＞2
∴k的最大值為3×6=18
②﹣ =﹣ ，k= ，
y0= = ，
2y0+x0﹣18=0，
解得：x0=9，y0=
∵x0＜2
∴不符合題意．
③m=2，n=8，k=mn=16
綜合得出：m=3，n=6時k最大值k=mn=18，
故選：B
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質和函數(shù)的極值與導數(shù)的相關知識點，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．