【題目】已知復數(shù)z1=m+ni(m,n∈R),z=x+yi(x,y∈R),z2=2+4i且 .
(1)若復數(shù)z1對應的點M(m,n)在曲線 上運動,求復數(shù)z所對應的點P(x,y)的軌跡方程;
(2)將(1)中的軌跡上每一點按向量 方向平移 個單位,得到新的軌跡C,求C的軌跡方程;
(3)過軌跡C上任意一點A(異于頂點)作其切線,交y軸于點B,求證:以線段AB為直徑的圓恒過一定點,并求出此定點的坐標.
【答案】
(1)解:∵ i﹣z2=(m﹣ni)i﹣(2+4i)=(n﹣2)+(m﹣4)i;
∴ .
∵復數(shù)z1對應的點M(m,n)在曲線 上運動
∴x+2=﹣ (y+7)2﹣1(y+7)2=﹣2(x+3).
復數(shù)z所對應的點P(x,y)的軌跡方程:(y+7)2=﹣2(x+3)
(2)解:∵按向量 方向平移 個單位, = =1× .
即為向 x 方向移動 1× = 個單位,向 y 方向移動 1×1=1 個單位
(y+7)2=﹣2(x+3)y+7=± .
得軌跡方程 y+7=± (y+6)2=﹣2(x+ )=﹣2x﹣3.
C的軌跡方程為:(y+6)2=﹣2x﹣3
(3)解:設A(x0,y0),斜率為k,切線y﹣y0=k(x﹣x0) (k≠0),
代入(y+6)2=﹣2x﹣3整理得:
(y+6)2=﹣2( )﹣3,△=0k= ,
設定點M(1,0),且 .
∴以線段AB為直徑的圓恒過一定點M,M點的坐標(1,0)
【解析】(1)根據(jù)復數(shù)條件求出關(guān)系式 ,結(jié)合復數(shù)z1對應的點M(m,n)在曲線 上運動即可得出復數(shù)z所對應的點P(x,y)的軌跡方程;(2)先按向量 方向平移 個單位得到即為向 x 方向移動 1× = 個單位,向 y 方向移動 1×1=1 個單位,再進行函數(shù)式的變換即可得出C的軌跡方程;(3)設A(x0 , y0),斜率為k,切線y﹣y0=k(x﹣x0) 代入(y+6)2=﹣2x﹣3消去x得到關(guān)于y的一元二次方程,再結(jié)合根的判別式為0利用向量的數(shù)量即可求得定點,從而解決問題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,b=2 ,B= .
(1)若a=2,求角C;
(2)若D為AC的中點,BD= ,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=m﹣
(1)若f(x)是R上的奇函數(shù),求m的值
(2)用定義證明f(x)在R上單調(diào)遞增
(3)若f(x)值域為D,且D[﹣3,1],求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y= x與拋物線y= x2﹣4交于A,B兩點,線段AB的垂直平分線與直線y=﹣5交于Q點,當P為拋物線上位于線段AB下方(含A,B)的動點時,則△OPQ面積的最大值為 .
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【題目】如果函數(shù)f(x)= (m﹣2)x2+(n﹣8)x+1(m≥0,n≥0)在區(qū)間[ ,2]上單調(diào)遞減,那么mn的最大值為( )
A.16
B.18
C.25
D.
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【題目】給出下列四個命題:
(1)命題“若 ,則tanα=1”的逆否命題為假命題;
(2)命題p:x∈R,sinx≤1.則¬p:x0∈R,使sinx0>1;
(3)“ ”是“函數(shù)y=sin(2x+)為偶函數(shù)”的充要條件;
(4)命題p:“x0∈R,使 ”;命題q:“若sinα>sinβ,則α>β”,那么(¬p)∧q為真命題.
其中正確的個數(shù)是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【題目】函數(shù)f(x)的定義域為R,f(﹣2)=2,對任意x∈R,f′(x)>2,則f(x)>2x+6的解集為( )
A.(﹣2,2)
B.(﹣∞,﹣2)
C.(﹣2,+∞)
D.(﹣∞,+∞)
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