【題目】已知復數(shù)z1=m+ni(m,n∈R),z=x+yi(x,y∈R),z2=2+4i且
(1)若復數(shù)z1對應的點M(m,n)在曲線 上運動,求復數(shù)z所對應的點P(x,y)的軌跡方程;
(2)將(1)中的軌跡上每一點按向量 方向平移 個單位,得到新的軌跡C,求C的軌跡方程;
(3)過軌跡C上任意一點A(異于頂點)作其切線,交y軸于點B,求證:以線段AB為直徑的圓恒過一定點,并求出此定點的坐標.

【答案】
(1)解:∵ i﹣z2=(m﹣ni)i﹣(2+4i)=(n﹣2)+(m﹣4)i;

∵復數(shù)z1對應的點M(m,n)在曲線 上運動

∴x+2=﹣ (y+7)2﹣1(y+7)2=﹣2(x+3).

復數(shù)z所對應的點P(x,y)的軌跡方程:(y+7)2=﹣2(x+3)


(2)解:∵按向量 方向平移 個單位, = =1×

即為向 x 方向移動 1× = 個單位,向 y 方向移動 1×1=1 個單位

(y+7)2=﹣2(x+3)y+7=±

得軌跡方程 y+7=± (y+6)2=﹣2(x+ )=﹣2x﹣3.

C的軌跡方程為:(y+6)2=﹣2x﹣3


(3)解:設A(x0,y0),斜率為k,切線y﹣y0=k(x﹣x0) (k≠0),

代入(y+6)2=﹣2x﹣3整理得:

(y+6)2=﹣2( )﹣3,△=0k=

設定點M(1,0),且

∴以線段AB為直徑的圓恒過一定點M,M點的坐標(1,0)


【解析】(1)根據(jù)復數(shù)條件求出關(guān)系式 ,結(jié)合復數(shù)z1對應的點M(m,n)在曲線 上運動即可得出復數(shù)z所對應的點P(x,y)的軌跡方程;(2)先按向量 方向平移 個單位得到即為向 x 方向移動 1× = 個單位,向 y 方向移動 1×1=1 個單位,再進行函數(shù)式的變換即可得出C的軌跡方程;(3)設A(x0 , y0),斜率為k,切線y﹣y0=k(x﹣x0) 代入(y+6)2=﹣2x﹣3消去x得到關(guān)于y的一元二次方程,再結(jié)合根的判別式為0利用向量的數(shù)量即可求得定點,從而解決問題.

練習冊系列答案
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(4)命題p:“x0∈R,使 ”;命題q:“若sinα>sinβ,則α>β”,那么(¬p)∧q為真命題.
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B.2
C.3
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C.(﹣2,+∞)
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