【題目】如圖，在三棱柱中，，，．

（1）證明：點在底面上的射影必在直線上；

（2）若二面角的大小為，，求與平面所成角的正弦值．

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）先證明平面，可得平面平面，由面面垂直的性質(zhì)定理可得點在底面上的射影必在直線上；（2）是二面角的平面角，，在平面內(nèi)過點作，以為軸建系，求出的方向向量，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求出平面的法向量，由空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

詳解：（1）因為，

所以平面．

所以平面平面．

過點作，則由面面垂直的性質(zhì)定理可知．

又，所以重合，

所以點在底面上的射影必在直線上．

（2）是二面角的平面角，．

法一：連接，．

平面平面平面．

作．

是直線與平面所成角．

．

又，．

法二：在平面內(nèi)過點作，以為軸建系．則

所以

由可以求得平面的法向量．

所以．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ，其中 .

（1）當 時，求函數(shù) 在 處的切線方程；

（2）若函數(shù) 在定義域上有且僅有一個極值點，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=sin（2x+ ），f′（x）是f（x）的導函數(shù)，則函數(shù)y=2f（x）+f′（x）的一個單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A.[ ， ]
B.[﹣ ， ]
C.[﹣ ， ]
D.[﹣ ， ]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若對x∈[0，+∞），y∈[0，+∞），不等式ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2﹣4ax≥0恒成立，則實數(shù)a取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C：y2＝4x和直線l：x＝－1.

(1)若曲線C上存在一點Q，它到l的距離與到坐標原點O的距離相等，求Q點的坐標；

(2)過直線l上任一點P作拋物線的兩條切線，切點記為A，B，求證：直線AB過定點.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知f（x）=|x﹣1|+|x+1|．
（1）求f（x）≤x+2的解集；
（2）若 R），求證： 對a∈R，且a≠0成立．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在區(qū)間[0，2]上任取兩個實數(shù)a，b，則函數(shù)f（x）=x3+ax﹣b在區(qū)間[﹣1，1]上有且只有一個零點的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax﹣e（x+1）lna﹣ （a＞0，且a≠1），e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當a=e時，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間x∈[0，2]上的最大值
（2）若函數(shù)f（x）只有一個零點，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在參加市里主辦的科技知識競賽的學生中隨機選取了40名學生的成績作為樣本，這40名學生的成績?nèi)吭?0分至100分之間，現(xiàn)將成績按如下方式分成6組：第一組，成績大于等于40分且小于50分；第二組，成績大于等于50分且小于60分；……第六組，成績大于等于90分且小于等于100分，據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.在選取的40名學生中.

（1）求成績在區(qū)間內(nèi)的學生人數(shù)及成績在區(qū)間內(nèi)平均成績；

（2）從成績大于等于80分的學生中隨機選3名學生，求至少有1名學生成績在區(qū)間內(nèi)的概率.

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