Question

在一次電視節(jié)目的搶答中，題型為判斷題，只有“對”和“錯”兩種結(jié)果，其中某明星判斷正確的概率為p，判斷錯誤的概率為q，若判斷正確則加1分，判斷錯誤則減1分，現(xiàn)記“該明星答完n題后總得分為S_n”．
（1）當(dāng)時，記ξ=|S₃|，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望及方差；
（2）當(dāng)時，求S₈=2且S_i≥0（i=1，2，3，4）的概率．

Answer 1

解：（1）∵ξ=|S₃|的取值為1，3，又；
∴，
．
∴ξ的分布列為：

∴Eξ=1×+3×=；
Dξ==
（2）當(dāng)S ₈=2時，即答完8題后，回答正確的題數(shù)為5題，回答錯誤的題數(shù)是3題，
又已知S_i≥0（i=1，2，3，4），若第一題和第二題回答正確，則其余6題可任意答對3題；
若第一題正確，第二題回答錯誤，第三題回答正確，則后5題可任意答對3題．
此時的概率為．
分析：（1）由題意知變量的可能取值是1，3，結(jié)合變量對應(yīng)的事件和獨立重復(fù)試驗的概率公式寫出變量對應(yīng)的概率和分布列，做出期望和方差．
（2）本題要求的概率是答完8題后，回答正確的題數(shù)為5題，回答錯誤的題數(shù)是3題，包括若第一題和第二題回答正確，則其余6題可任意答對3題；和若第一題正確和第二題回答錯誤，第三題回答正確，則后5題可任意答對3題，兩種情況，寫出概率．
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，這種類型是近幾年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)的，考查離散型隨機變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問題．