Question

16．已知點C的坐標為（1，0），A，B是拋物線y²=x上不同于原點O的相異的兩個動點，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$．
（1）求證：點A，C，B共線；
（2）若$\overrightarrow{AQ}=λ\overrightarrow{QB}（{λ∈R}）$，當$\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{AB}=0$時，求動點Q的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）利用向量方法，證明$\overrightarrow{AC}∥\overrightarrow{BC}$，即可證明點A，C，B共線；
（2）若$\overrightarrow{AQ}=λ\overrightarrow{QB}（{λ∈R}）$，當$\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{AB}=0$時，$\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{CQ}=0$，即可求動點Q的軌跡方程．

解答 （1）證明：設$A（{t_1^2，{t_1}}），B（{t_2^2，{t_2}}），（{{t_1}≠{t_2}，{t_1}≠0，{t_2}≠0}）$，則$\overrightarrow{OA}=（{t_1^2，{t_1}}），\overrightarrow{OB}（{t_2^2，{t_2}}）$，
因為$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，∴$t_1^2t_2^2+{t_1}{t_2}=0$，又t₂≠0，t₁≠0，∴t₁t₂=-1，
因為$\overrightarrow{AC}=（{1-t_1^2，-{t_1}}），\overrightarrow{BC}=（{1-t_2^2，-{t_2}}）$，
且${t_1}（{1-t_1^2}）-{t_2}（{1-t_2^2}）=（{{t_1}-{t_2}}）-{t_1}t_1^2+{t_2}t_2^2=（{{t_1}-{t_2}}）（{1+{t_1}{t_2}}）=0$，
所以$\overrightarrow{AC}∥\overrightarrow{BC}$，
又AC，CB都過點C，所以三點A，B，C共線．
（2）解：由題意知，點Q是直角三角形AOB斜邊上的垂足，又定點C在直線AB上，∠CQO=90°，
所以設動點Q（x，y），則$\overrightarrow{OQ}=（{x，y}），\overrightarrow{CQ}=（{x-1，y}）$，
又$\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{CQ}=0$，所以x（x-1）+y²=0，即${（{x-\frac{1}{2}}）^2}+{y^2}=\frac{1}{4}（{x≠0}）$，
動點Q的軌跡方程為${（{x-\frac{1}{2}}）^2}+{y^2}=\frac{1}{4}（{x≠0}）$．

點評 本題考查軌跡方程，考查三點共線的證明，考查向量知識的運用，屬于中檔題．