Question

18．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，當(dāng)n＞1時(shí)，有a_n+n=2a_n-1+2．
（1）證明：數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和S_n；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足${b_n}={（-1）^n}•{a_n}$，試求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+n=2a_n-1+2化簡可得a_n-n=2a_n-1+2-2n=2（a_n-1-（n-1）），從而證明；從而求通項(xiàng)公式，利用拆項(xiàng)求和法求和；
（2）化簡b_2n-1+b_2n=-（2n-1+2^2n-1）+（2n+2²ⁿ）=2^2n-1+1，從而分類討論求其和．

解答 解：（1）∵a_n+n=2a_n-1+2，
∴a_n-n=2a_n-1+2-2n=2（a_n-1-（n-1）），
又∵a₁-1=3-1=2，
∴數(shù)列{a_n-n}是2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n-n=2ⁿ，
∴a_n=n+2ⁿ，
∴S_n=$\frac{（1+n）}{2}$n+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=$\frac{（1+n）}{2}$n+2ⁿ⁺¹-2；
（2）∵b_2n-1+b_2n=-（2n-1+2^2n-1）+（2n+2²ⁿ）=2^2n-1+1，
∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
T_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_n-1+b_n）
=（2+1）+（8+1）+…+（2^n-1+1）
=$\frac{2（1-{4}^{\frac{n}{2}}）}{1-4}$+$\frac{n}{2}$=$\frac{2}{3}$（2ⁿ-1）+$\frac{n}{2}$．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
T_n=T_n-1+b_n=$\frac{2}{3}$（2^n-1-1）+$\frac{n-1}{2}$-（n+2ⁿ）
=-$\frac{2}{3}$（2ⁿ+1）-$\frac{n+1}{2}$；
綜上所述，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}（{2}^{n}-1）+\frac{n}{2}，n為偶數(shù)}\\{-\frac{2}{3}（{2}^{n}+1）-\frac{n+1}{2}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了構(gòu)造法的應(yīng)用．