Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝loga (其中a>0，且a≠1)．

(1)求函數(shù)f(x)的定義域；

(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性并給出證明；

(3)若x∈時(shí)，函數(shù)f(x)的值域是[0,1]，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】（1）(－1,1)（2）奇函數(shù)（3）3.

【解析】試題分析：（1）由真數(shù)大于零解得不等式解集，即為函數(shù)定義域（2）先確定定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再研究f(x)與f(－x)關(guān)系：相反，最后根據(jù)奇函數(shù)定義確定奇偶性（3）先根據(jù)復(fù)合函數(shù)性質(zhì)確定單調(diào)性：當(dāng)a>1時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<1時(shí)，單調(diào)遞減再根據(jù)單調(diào)性確定最值取法，根據(jù)最值求實(shí)數(shù)a的值．

試題解析：(1)由條件知>0，解得－1<x<1，

∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,1)；

(2)由(1)知函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

f(－x)＝loga＝loga－1＝－loga＝－f(x)，因此f(x)是奇函數(shù)．

(3)f(x)＝loga＝loga＝

loga＝loga.

記g(x)＝－1－，

則g(x)＝－1－在上單調(diào)遞增，

因此當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，

由f＝1，得a＝3；

當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞減，

由f(0)＝1得出矛盾，a∈；

綜上可知a＝3.