Question

已知函數(shù) f(x)=

2x

2x+1

（1）證明：函數(shù)f（x）不是偶函數(shù)；
（2）試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用定義證明．

Answer 1

分析：（1）利用偶函數(shù)的定義即可證明；
（2）設0＜x₁＜x₂，根據(jù)增函數(shù)的定義只需通過作差證明f（x₂）＞f（x₁）；

解答：證明：（1）由已知，函數(shù)f（x）的定義域為R．
f（-1）=

2-1

2-1+1

=

1

3

，
f（1）

2

2+1

=

2

3

．∴f（-1）≠f（1）
所以函數(shù)f（x）不是偶函數(shù)．
（2）設x₁，x₂是兩個任意實數(shù)，且x₁＜x₂，
則△x=x₂-x₁＞0，△y=f（x₂）-f（x₁）=

2x2

2x2+1

-

2x1

2x1+1

=

2x2-2x1

(2x2+1)(2x1+1)

因為0＜x₁＜x₂，所以2 x1+1＞0＞0，2 x2+1＞0，2 x2＞2 x1
所以△y＞0，
所以f（x）在R上是增函數(shù)．

點評：本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷證明，屬基礎題，定義是解決該類問題的基本方法．