設(shè)F是拋物線y2=16x的焦點，A，B，C在拋物線上，且橫坐標(biāo)分別是x1，x2，x3，則下列說法正確的有
 
．
①若
FA
+
FB
+
FC
=
0
，則|
FA
|+|
FB
|+|
FC
|=24；
②若x1+x3=2x2，則|
FA
|，|
FB
|，|
FC
|成等差數(shù)列；
③若直線AB經(jīng)過點F，則以AB為直徑的圓與直線x=-4相切．
考點：拋物線的簡單性質(zhì)
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：①根據(jù)
FA
+
FB
+
FC
=
0
，可判斷點F是△ABC重心，進(jìn)而可求x1+x2+x3的值，再根據(jù)拋物線的定義，即可求得答案．
②|
FA
|+|
FC
|=x1+x3+8=2（x2+4）=2|
FB
|，可得|
FA
|，|
FB
|，|
FC
|成等差數(shù)列；
③AB的中點到直線x=-4的距離等于
1
2
AB，可得結(jié)論．
解答： 解：拋物線焦點坐標(biāo)F（4，0），準(zhǔn)線方程：x=-4
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）
∵
FA
+
FB
+
FC
=
0
，∴點F是△ABC重心，
∴x1+x2+x3=12，
∵|FA|=x1-（-4）=x1+4，|FB|=x2-（-4）=x2+4，|FC|=x3-（-4）=x3+4
∴|
FA
|+|
FB
|+|
FC
|=x1+4+x2+4+x3+4=（x1+x2+x3）+12=24，故①正確；
|
FA
|+|
FC
|=x1+x3+8=2（x2+4）=2|
FB
|，∴|
FA
|，|
FB
|，|
FC
|成等差數(shù)列，故②正確；
∵AB的中點到直線x=-4的距離等于
1
2
AB，∴以AB為直徑的圓與直線x=-4相切，故③正確．
故答案為：①②③
點評：本題重點考查拋物線的簡單性質(zhì)與定義，考查向量知識的運用，解題的關(guān)鍵是判斷出F點為三角形的重心．
練習(xí)冊系列答案
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（1）已知cos（
π
6
-α）=
3
3
，求cos（
5π
6
+α）-sin2（α-
π
6
）的值．
（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以x軸為始邊作兩個銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．已知A，B的橫坐標(biāo)分別為
5
5
，
7
2
10
．求tanα，tanβ的值．

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．

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．

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x-a
x
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1
2
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B、f（x1）=f（x2）
C、f（x1）＜f（x2）
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．

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