Question

8．如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB=BC，AD是BC邊上的高，AE是⊙O的直徑
（1）求證：AC•BC=AD•AE；
（2）過點C作⊙O的切線交BA的延長線于點F，若BC=5，CF=6，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，連接BE．由于AE是⊙O的直徑，可得∠ABE=90°．利用∠E與∠ACB都是$\widehat{AB}$所對的圓周角，可得∠E=∠ACB．進而得到△ABE∽△ADC，即可得到．
（II）利用切割線定理可得CF²=AF•BF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得$\frac{AF}{FC}$=$\frac{AC}{BC}$，即可得出．

解答 （1）證明：如圖所示，連接BE．
∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE=90°．
又∠E與∠ACB都是$\widehat{AB}$所對的圓周角，∴∠E=∠ACB．
∵AD⊥BC，∠ADC=90°．
∴△ABE∽△ADC，∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AE}{AC}$，∴AB•AC=AD•AE．
又AB=BC，∴BC•AC=AD•AE．
（2）∵CF是⊙O的切線，∴CF²=AF•BF，
∵AF=2，CF=4，∴4²=2BF，解得BF=8．
∴AB=BF-AF=6．∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB，
∴$\frac{AF}{FC}$=$\frac{AC}{BC}$，∴$AC=\frac{AF•BC}{CF}$=3．

點評 本題考查了圓的性質(zhì)、三角形相似判定與性質(zhì)、切割線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．