Question

2．已知橢圓$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1，A，B分別為其左右頂點，P是橢圓上異于 A，B的一個動點，設(shè)k₁，k₂分別是直線 P A，P B的斜率．
（1）求k₁•k₂的值；
（2）若 M（1，1）是橢圓內(nèi)一定點，過 M的直線l交橢圓于C，D兩點，若$\overrightarrow{{O}{M}}$=$\frac{1}{2}$（${\overrightarrow{{O}C}$+$\overrightarrow{{O}D}}$），求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知得A（-2，0），B（2，0），設(shè)P（2cosθ，$\sqrt{3}sinθ$），θ∈（0，2π），且θ≠π，由此能求出k₁•k₂的值．
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=1，不成立；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）+1，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x-1）+1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²-8k²x+8kx+4k²-8k+4=0，由此利用根的判別式、韋達定理、向量知識，結(jié)合已知條件能求出直線l的方程．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1，A，B分別為其左右頂點，P是橢圓上異于 A，B的一個動點，
∴A（-2，0），B（2，0），設(shè)P（2cosθ，$\sqrt{3}sinθ$），θ∈（0，2π），且θ≠π，
∵設(shè)k₁，k₂分別是直線 P A，P B的斜率，
∴k₁•k₂=$\frac{\sqrt{3}sinθ}{2cosθ+2}•\frac{\sqrt{3}sinθ}{2cosθ-2}$=$\frac{3si{n}^{2}θ}{4co{s}^{2}θ-4}$=$\frac{3si{n}^{2}θ}{-4si{n}^{2}θ}$=-$\frac{3}{4}$．
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=1，
把x=1代入橢圓$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1，得C（1，-$\frac{3}{2}$），D（1，$\frac{3}{2}$），
$\overrightarrow{OM}$=（1，0）≠$\frac{1}{2}$（${\overrightarrow{{O}C}$+$\overrightarrow{{O}D}}$）=（1，0），不成立；
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x-1）+1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²-8k²x+8kx+4k²-8k+4=0，
∵過M的直線l交橢圓于C，D兩點，∴△＞0，
設(shè)C（${{x}_{1}，{y}_{1}}^{\;}$），D（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}-8k}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-8k+4}{3+4{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k+2=$\frac{8{k}^{3}-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$-2k+2，
∵$\overrightarrow{{O}{M}}$=$\frac{1}{2}$（${\overrightarrow{{O}C}$+$\overrightarrow{{O}D}}$），
∴（1，1）=$\frac{1}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}，{y}_{1}+{y}_{2}）$=（$\frac{4{k}^{2}-4k}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{4{k}^{3}-4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$-k+1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4{k}^{2}-4k}{3+4{k}^{2}}=1}\\{\frac{4{k}^{3}-4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}-k+1=1}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{3}{4}$，
∴直線l的方程為y=-$\frac{3}{4}$（x-1）+1，即3x+4y-4=0．

點評 本題考查兩直線斜率乘積的求法，考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、根的判別式、韋達定理、向量知識，直線方程的合理運用．