Question

已知函數(shù)f（x）=x²-cosx，對(duì)于[-

π

2

，

π

2

]上的任意x₁，x₂，有如下條件：①|(zhì)x₁|＞|x₂|；②x

2 1

＞x

2 2

；
③cosx₁＞cosx₂；④sinx₁＞sinx₂．其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的條件序號(hào)是（　　）

• A、①②③
• B、①②
• C、①②④
• D、②③

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且其導(dǎo)數(shù)在[0，

π

2

]上大于0恒成立，可知f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上的單調(diào)性，然后結(jié)合給出的四個(gè)條件逐一進(jìn)行判斷．

解答： 解：函數(shù)f（x）=x²-cosx為偶函數(shù)，f′（x）=2x+sinx，
當(dāng)0＜x≤

π

2

時(shí)，0＜sinx≤1，0＜2x≤π，
∴f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上為單調(diào)增函數(shù)，
由偶函數(shù)性質(zhì)知函數(shù)在[-

π

2

，0]上為減函數(shù)．
當(dāng)x₁²＞x₂²時(shí)，得|x₁|＞|x₂|≥0，
∴f（|x₁|）＞f（|x₂|），由函數(shù)f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上為偶函數(shù)得f（x₁）＞f（x₂），故①②成立；
當(dāng)x1，x2∈[-

π

2

，0]時(shí)，由cosx₁＞cosx₂，得x₁＞x₂，此時(shí)f（x₁）＜f（x₂），③不正確；
當(dāng)x1，x2∈[-

π

2

，0]時(shí)，由sinx₁＞sinx₂，得x₁＞x₂，此時(shí)f（x₁）＜f（x₂），④不正確．
∴能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的條件序號(hào)是①②．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，是中檔題．