Question

過點（0，4），斜率為-1的直線與拋物線y²=2px（p＞0）交于兩點A、B，且弦|AB|的長度為4．
（1）求p的值；
（2）求證：OA⊥OB（O為原點）．

Answer 1

【答案】分析：（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達定理，計算弦|AB|的長度，即可求p的值；
（2）證明x₁x₂+y₁y₂=0，即可得到OA⊥OB．
解答：（1）解：直線方程為y=-x+4，聯(lián)立方程消去y得，x²-2（p+4）x+16=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得x₁+x₂=2（p+4），x₁x₂=16，△=4（p+2）²-64＞0．
所以|AB|=|x₁-x₂|==4，所以p=2．
（2）證明：由（1）知，x₁+x₂=2（p+4）=12，x₁x₂=16，
∴y₁y₂=（-x₁+4）（-x₂+4）=-8p=-16
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴OA⊥OB．
點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．