Question

已知f（x）=（1-2x）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N^*）的展開式中沒有常數(shù)項，且2＜n＜6，則展開式中含x²的系數(shù)是

 

．

Answer 1

考點：二項式系數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題,二項式定理

分析：若f（x）=（1-2x）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N^*）的展開式中沒有常數(shù)項，可得（x+x^-3）ⁿ的展開式中沒有常數(shù)項，
且沒有x^-1項，可得n=5，即可求出展開式中含x²的系數(shù)．

解答： 解：若f（x）=（1-2x）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N^*）的展開式中沒有常數(shù)項，可得（x+x^-3）ⁿ的展開式中沒有常數(shù)項，
且沒有x^-1項．
而（x+x^-3）ⁿ的展開式的通項公式為T_r+1=

C

r n

•x^n-4r，
故n-4r=0無解，且n-4r=-1無解，
結(jié)合所給的選項可得，n=5，
（x+x^-3）⁵的展開式的通項公式為T_r+1=

C

r 5

•x^5-4r，
∴展開式中含x²的系數(shù)是（-2）×

C

1 5

=-10
故答案為：-10

點評：本題考查二項式定理，考查二項展開式的通項公式，突出考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題．