Question

如圖，在四棱錐ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=2，BC=CD=1，頂角D₁在底面ABCD內的射影恰好為點C．
（1）求證：AD₁⊥BC；
（2）若直線DD₁與直線AB所成角為

π

3

，求平面ABC₁D₁與平面ABCD所成角（銳角）的余弦值函數(shù)值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的性質,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明：連接D₁C，證明BC⊥平面AD₁C，利用直線與平面垂直的性質定理證明AD₁⊥BC．
（Ⅱ）解法一：連接D₁M，則D₁M⊥AB，說明∠D₁MC為平面ABC₁D₁與平面ABCD所成角的一個平面角，在Rt△D₁CM中，求出cos∠D1CM=

5

5

，得到平面ABC₁D₁與平面ABCD所成角（銳角）的余弦函數(shù)值為

5

5

．
解法二：
由（Ⅰ）知AC、BC、D₁C兩倆垂直，建立如圖空間直角坐標系，求出相關點的坐標，求出平面ABC₁D₁的一個法向量，平面ABCD的法向量．通過向量的數(shù)量積求解平面ABC₁D₁和平面ABCD所成的角（銳角）的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）證明：連接D₁C，則D₁C⊥平面ABCD，
∴D₁C⊥BC
在等腰梯形ABCD中，連接AC
∵AB=2，BC=CD=1，AB∥CD
∴BC⊥AC
∴BC⊥平面AD₁C
∴AD₁⊥BC…（6分）
（Ⅱ）解法一：
∵AB∥CD∴∠D1DC=

π

3

∵CD=1∴D1C=

3

在底面ABCD中作CM⊥AB，連接D₁M，則D₁M⊥AB，所以∠D₁MC為平面ABC₁D₁與平面ABCD所成角的一個平面角
在Rt△D₁CM中，CM=

3

2

，D1C=

3

∴D1M=

CM2+D1C2

=

15

2

∴cos∠D1CM=

5

5

即平面ABC₁D₁與平面ABCD所成角（銳角）的余弦函數(shù)值為

5

5

…（12分）
解法二：
由（Ⅰ）知AC、BC、D₁C兩倆垂直，
∵AB∥CD∴∠D1DC=

π

3

∴D1C=

3

在等腰梯形ABCD中，連接AC因AB=2，BC=CD=1AB∥CD，
所以AC=

3

，建立如圖空間直角坐標系，
則A(

3

，0，0)，B（0，1，0），D1(0，0，

3

)
設平面ABC₁D₁的一個法向量

n

=(x，y，z)

由

n • AB =0 n • AD1 =0

得

y- 3 x=0 z-x=0

可得平面ABC₁D₁的一個法向量

n

=(1，

3

，1)．
又

CD1

=(0，0，

3

)為平面ABCD的一個法向量．
因此cos＜

CD1

，

n

＞=

CD1 • n

| CD1 || n |

=

5

5

所以平面ABC₁D₁和平面ABCD所成的角（銳角）的余弦值為

5

5

．

點評：本題考查二面角的平面角的求法，直線與平面垂直的性質定理的應用，向量法求解二面角的方法，考查空間想象能力以及計算能力．