Question

11．已知點(diǎn)P、A、B、C共面，點(diǎn)O不在該平面內(nèi)，S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且滿足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{4}$a₂•$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$a₈•$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{4}$a₄₀₀₈•$\overrightarrow{OC}$，則S₂₀₁₂的值為（　�。�

• A． 2010
• B． 2011
• C． 2012
• D． 2013

Answer 1

分析 由題意可得$\frac{1}{4}{a}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{8}+\frac{1}{4}{a}_{4008}=1$，利用等差數(shù)列的性質(zhì)變形得到a₁+a₂₀₁₂=2．然后代入等差數(shù)列的前n項(xiàng)和得答案．

解答 解：∵點(diǎn)P、A、B、C共面，且$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{4}$a₂•$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$a₈•$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{4}$a₄₀₀₈•$\overrightarrow{OC}$，
∴由共面向量基本定理，可得$\frac{1}{4}{a}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{8}+\frac{1}{4}{a}_{4008}=1$，
即a₂+2a₈+a₄₀₀₈=4，
∴（a₂+a₈）+（a₈+a₄₀₀₈）=4，
即2a₅+2a₂₀₀₈=4，
∴2（a₅+a₂₀₀₈）=4，則a₁+a₂₀₁₂=2．
∴S₂₀₁₂=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{2012}）×2012}{2}=2012$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間中四點(diǎn)共面的條件，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，是中檔題．