Question

7．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)（5，m）到焦點(diǎn)的距離為6，P，Q分別為拋物線C與圓M：（x-6）²+y²=1上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|PQ|取得最小值時(shí)，向量$\overrightarrow{PQ}$在x軸正方向上的投影為（　�。�

• A． 2-$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• B． 2$\sqrt{5}$-1
• C． 1-$\frac{{\sqrt{21}}}{21}$
• D． $\sqrt{21}$-1

Answer 1

分析 利用拋物線的定義，求得p的值，由利用兩點(diǎn)之間的距離公式求得丨PM丨，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得丨PM丨_min，由|PQ|取得最小值為丨PM丨_min-1，求得P點(diǎn)坐標(biāo)，求得cos∠PMO，則向量$\overrightarrow{PQ}$在x軸正方向上的投影丨$\overrightarrow{PQ}$丨×cos∠PMO．

解答 解：由拋物線C：y²=2px（p＞0）焦點(diǎn)在x軸上，準(zhǔn)線方程x=-$\frac{p}{2}$，
則點(diǎn)（5，m）到焦點(diǎn)的距離為d=5+$\frac{p}{2}$=6，
則p=2，
∴拋物線方程：y²=4x，
設(shè)P（x，y），圓M：（x-6）²+y²=1圓心為（6，1），半徑為1，
則丨PM丨=$\sqrt{（x-6）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-6）^{2}+4x}$=$\sqrt{（x-4）^{2}+20}$，
當(dāng)x=4時(shí)，丨PQ丨取最小值，最小值為$\sqrt{20}$-1=2$\sqrt{5}$-1，
設(shè)P（4，-4），則直線PM的斜率為2，即tan∠PMO=2，
則cos∠PMO=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
故當(dāng)|PQ|取得最小值時(shí)，向量$\overrightarrow{PQ}$在x軸正方向上的投影（2$\sqrt{5}$-1）×cos∠PMO=2-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩點(diǎn)之間的距離公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，考查向量投影的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．