Question

12．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，$A{A_1}=AC=CB=\frac{{\sqrt{2}}}{2}AB$
（Ⅰ）求證：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求二面角D-CB₁-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AC⊥平面BCC₁，即可證明：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）取BC中點(diǎn)E，過D作DF⊥B₁C于F，連接EF，證明∠EFD是二面角D-CB₁-B的平面角，即可求二面角D-CB₁-B的平面角的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，
∵AC²+BC²=AB²
∴AC⊥BC，
又 AC⊥C₁C，且BC∩C₁C=C
∴AC⊥平面BCC₁，又BC₁?平面BCC₁
∴AC⊥BC₁                   …（4分）
（Ⅱ）解：取BC中點(diǎn)E，過D作DF⊥B₁C于F，連接EF       …（5分）
∵D是AB中點(diǎn)，
∴DE∥AC，又AC⊥平面BB₁C₁C，
∴DE⊥平面BB₁C₁C，
又∵EF?平面BB₁C₁C，BC₁?平面BB₁C₁C
∴DE⊥EF．
∴BC₁⊥DE  
又∵DF⊥BC₁ 且DE∩DF=D
∴B₁C⊥平面DEF，EF?平面DEF         …（7分）
∴B₁C⊥EF
又∵DF⊥B₁C，
∴∠EFD是二面角D-CB₁-B的平面角      …（9分）
∵AC=BC=$\sqrt{2}$=AA₁
∴在△DEF中，DE⊥EF，$DE=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$EF=\frac{1}{2}$，$DF=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
∴$cos∠EFD=\frac{EF}{DF}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（11分）
∴二面角D-CB₁-B余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間中直線與平面之間的垂直關(guān)系，考查面與面的夾角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．