Question

四面體的四個面的面積分別為S₁、S₂、S₃、S₄，記其中最大的面積為S，則

4 i-1 Si

3S

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：棱錐的結構特征

專題：空間位置關系與距離

分析：當四個面面積相等，都為S時，此時

S1+S2+S3+S4

S

取最大值4；當四個面面積不等時，由于是四面體，有輕微隆起，其他3個面的和大于S，

S1+S2+S3+S4

S

取最小值2，確定出

S1+S2+S3+S4

S

的范圍，即可求出所求式子的范圍．

解答： 解：∵四面體的四個面的面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄，S表示它們的最大值，
∴當S₁=S₂=S₃=S₄時，

S1+S2+S3+S4

S

取最大值4，即

S1+S2+S3+S4

S

≤4，
∵棱錐的高趨近0時，S₁+S₂+S₃+S₄的值趨近2，
∴S₁+S₂+S₃+S₄＞2S，即

S1+S2+S3+S4

S

＞2，
∴2＜

S1+S2+S3+S4

S

≤4，即

2

3

＜

S1+S2+S3+S4

3S

≤

4

3

，
則

4 i-1 Si

3S

的取值范圍是（

2

3

，

4

3

]，
故答案為：（

2

3

，

4

3

]

點評：此題考查了棱錐的結構特征，找出

S1+S2+S3+S4

S

的范圍是解本題的關鍵．