已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與共線．

(1)

求橢圓的離心率；

(2)

為橢圓上任意一點，且，證明為定值．

答案：
解析：

(1)

解：設橢圓方程為

則直線AB的方程為，代入，

化簡得．

令A()，B)，則

由與共線，

得又，

即，所以，

故離心率

(2)

證明：由(1)知，所以橢圓可化為

設，由已知得

在橢圓上，

即①

由(1)知

又，代入①得

故為定值，定值為1


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，
OA
+
OB
與
a
=（3，-1）共線．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設M為橢圓上任意一點，且
OM
=λ
OA
+μ
OB
(λ，μ∈R)，證明λ2+μ2為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標原點O，橢圓短半軸長為1，動點M（2，t）（t＞0）在直線x=
a2c
（a為長半軸，c為半焦距）上．
（1）求橢圓的標準方程
（2）求以OM為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程；
（3）設F是橢圓的右焦點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N，求證：線段ON的長為定值，并求出這個定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標原點，斜率為1且過橢圓右焦點F（2，0）的直線交橢圓于A，B兩點，
OA
+
OB
與
a
=(3，-1)共線，則該橢圓的長半軸長為
6
6
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標原點O，橢圓短半軸長為1，動點M（2，t）（t＞0）在直線x=
a2c
（a為長半軸，c為半焦距）上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求以OM為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，
OA
+
OB
與
a
=(3，-1)共線，則該橢圓的離心率為（　�。�
A、
5
3
B、
3
2
C、
6
3
D、
2
2
3

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