Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x3-ax2+b在x=2處有極值．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在R上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后f′（2）=0，解出a的值，進(jìn)而求出導(dǎo)數(shù)．分別令f′（x）＜0，f′（x）＞0，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由于函數(shù)f（x）在R上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)的極大值小于0，或者是函數(shù)的極小值大于0，解出參數(shù)范圍即可．

解答：解：（1）f′（x）=x²-2ax…（1分）
由題意知：f′（2）=4-4a=0，得a=1，…（3分）
∴f′（x）=x²-2x，
令f′（x）＞0，得x＞2或x＜0，…（5分）
令f′（x）＜0，得0＜x＜2，…（6分）
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0）和（2，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2）．…（7分）
（2）由（1）知，f（x）=

1

3

x3+x2-b，
f （2）=b-

4

3

為函數(shù)f （x）極小值，f （0 ）=b為極大值．…（10分）
∵函數(shù)f （x） 在R上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
∴b-

4

3

＞0或b＜0    …（12分）
即  b＞

4

3

或b＜0    …（13分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)單調(diào)性的判定，函數(shù)最值，函數(shù)、方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力及分析與解決問題的能力，難度不大．