已知函數(shù)f(x)=a-2|x|+1(a≠0),定義函數(shù)F(x)=
f(x)   ,  x>0
-f(x) ,    x<0
 給出下列命題:①F(x)=|f(x)|; ②函數(shù)F(x)是奇函數(shù);③當(dāng)a<0時,若mn<0,m+n>0,總有F(m)+F(n)<0成立,其中所有正確命題的序號是
 
分析:根據(jù)已知求出F(x)與|f(x)|的解析式,進(jìn)而根據(jù)函數(shù)相等的定義可判斷①;判斷出函數(shù)F(x)的奇偶性,可判斷②;若mn<0,m+n>0,可得m,n異號且正數(shù)的絕對值較大,代入F(m)+F(n)判斷符號,可判斷③
解答:解:∵F(x)=
f(x)   ,  x>0
-f(x) ,    x<0
=
a-2x+1,x>0
-a+2-x-1,x<0

|f(x)|=|a-2|x|+1|
兩個函數(shù)的解析式不同,故①錯誤;
∵函數(shù)F(x)的定義域{x|x≠0}關(guān)于原點(diǎn)對稱
且F(-x)=
-a+2x-1,x>0
a-2x+1,x<0
=-F(x)
故函數(shù)F(x)是奇函數(shù),故②正確;
∵mn<0,m+n>0,
故m,n異號,
若m>0,則n<0,且|m|>|n|
則F(m)+F(n)=a-2m+1-a+2n-1=2n-2m<0
同理可證m<0時,F(xiàn)(m)+F(n)<0成立
故③正確
故正確的命題有:②③
故答案為:②③
點(diǎn)評:本題以命題的真假判斷為載體考查了函數(shù)相等,函數(shù)的奇偶性,利用函數(shù)單調(diào)性解不等式等問題,是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用,難度較大.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•海淀區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=a-2x的圖象過原點(diǎn),則不等式f(x)>
34
的解集為
(-∞,-2)
(-∞,-2)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a|x|的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,3),解不等式f(
2x
)>3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a•2x+b•3x,其中常數(shù)a,b滿足a•b≠0
(1)若a•b>0,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若a=-3b,求f(x+1)>f(x)時的x的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案