已知函數(shù)f(x)=a•2x+b•3x,其中常數(shù)a,b滿足a•b≠0
(1)若a•b>0,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若a=-3b,求f(x+1)>f(x)時的x的取值范圍.
分析:(1)分a>0,b>0和a<0,b<0兩種情況討論,運用單調(diào)性的定義可作出判斷;
(2)當(dāng)a=-3b時,f(x)=-3b•2x+b•3x=b(3x-3•2x),分b>0,b<0兩種情況進(jìn)行討論,整理可得指數(shù)不等式解出即可;
解答:解:(1)當(dāng)a>0,b>0時,
任意x1,x2∈R,且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=a(2x1-2x2)+b(3x1-3x2),
2x12x23x13x2,a>0,b>0,
∴a(2x1-2x2)<0,b(3x1-3x2)<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
故函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù);
當(dāng)a<0,b<0時,同理,可判斷函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù);
(2)當(dāng)a=-3b時,f(x)=-3b•2x+b•3x=b(3x-3•2x),
則f(x+1)>f(x)即化為b(3x+1-3•2x+1)>b(3x-3•2x),
若b>0,則有3x+1-3•2x+1>3x-3•2x,整理得(
3
2
)x
3
2
,解得x>1;
若b<0,則有3x+1-3•2x+1<3x-3•2x,整理得(
3
2
)x
3
2
,解得x<1;
故b>0時,x的范圍是x>1;當(dāng)b<0時,x的范圍是x<1.
點評:本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,考查分類討論思想,屬基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點的連線的斜率,否存在實數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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(2009•海淀區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=a-2x的圖象過原點,則不等式f(x)>
34
的解集為
(-∞,-2)
(-∞,-2)

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2x
)>3

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f(x)   ,  x>0
-f(x) ,    x<0
 給出下列命題:①F(x)=|f(x)|; ②函數(shù)F(x)是奇函數(shù);③當(dāng)a<0時,若mn<0,m+n>0,總有F(m)+F(n)<0成立,其中所有正確命題的序號是
 

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