Question

已知函數(shù)f(x)=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x-1(x∈R)
（1）求f(

π

8

)的值；
（2）若函數(shù)h（x）=f（x+t）的圖象關(guān)于點(diǎn)(-

π

6

，0)對稱，且t∈（0，π），求t的值．

Answer 1

分析：把函數(shù)解析式的第一項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡后，再利用誘導(dǎo)公式變形，整理后提取2，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，
（1）把x=

π

8

代入化簡后的式子中，即可求出f（

π

8

）的值；
（2）由函數(shù)h（x）=f（x+t）的圖象關(guān)于點(diǎn)(-

π

6

，0)對稱得f（t-

π

6

）=0，根據(jù)化簡的解析式列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到t的值，再由t的范圍即可得到滿足題意的t值．

解答：解：f（x）=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x-1
=2×

1- cos( π 2 +2x)

2

-

3

cos2x-1
=1-cos（

π

2

+2x）-

3

cos2x-1
=sin2x-

3

cos2x
=2sin（2x-

π

3

），（5分）
（1）f(

π

8

)=sin

π

4

-

3

cos

π

4

=

2 - 6

2

；    （7分）
（2）由題意得：h（-

π

6

）=f（t-

π

6

）=2sin（2t-

2π

3

）=0，
可得2t-

2π

3

=kπ（k∈Z），（12分）
解得：t=

kπ

2

+

π

3

，又t∈（0，π），
則t=

π

3

或

5π

6

．    （14分）

點(diǎn)評：此題考查二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，特殊角的三角函數(shù)值以及正弦函數(shù)的對稱性，其中靈活運(yùn)用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．