Question

【題目】已知冪函數(shù)滿足．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若函數(shù)，是否存在實數(shù)使得的最小值為0？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；

（3）若函數(shù)，是否存在實數(shù)，使函數(shù)在上的值域為？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在使得的最小值為0；（3）．

【解析】試題分析：（1）由為冪函數(shù)可得，解得或，經(jīng)驗證。（2）令，則，設(shè)，則將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的最小值是否為0的問題。根據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系求解，可得滿足題意。（3）由題意得，且在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，若存在實數(shù)a,b滿足題意，則可得，由②-①消去n得，從而，將③代入②得，再令，由得，所以將問題轉(zhuǎn)化為求在

上的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)的知識可得。

試題解析：

（1）∵是冪函數(shù)，

∴，

解得或，

當時， ，不滿足，

當時， ，滿足，

∴

∴。

（2）令，則，

設(shè)，

①當，即時，由題意得

，

解得；

②當，即時，由題意得

，

解得（舍去）；

③當，即時，由題意得

，

解得（舍去）

綜上存在使得的最小值為0。

（3）由題意得，

∴在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)；

若存在實數(shù)，使函數(shù)在上的值域為，

則，

由②-①，得

，

∴，

將③代入②得，

，

令，

∵，

∴，

又，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，

∴。

∴存在實數(shù)，使函數(shù)在上的值域為且實數(shù)的取值范圍為

．