已知函數(shù)f（x）為二次函數(shù)，不等式f（x）+2＜0的解集為，且對任意的a，β∈R，恒有f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若數(shù)列{an}滿足，求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）設(shè)，在（2）的條件下，若數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，求數(shù)列{Sn•cos（bnπ）}的前n項和Tn．
【答案】分析：（1）由不等式的解集設(shè)出f（x）+2的兩根式，對角α，β取特值后得到f（1）=1，由此可取函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求出f（an+1），f（an），代入已知的等式中化簡得到數(shù)列{}為等差數(shù)列，求出數(shù)列{}的通項公式后可求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）由，求出cos（bnπ），然后分n為偶數(shù)和奇數(shù)討論求解數(shù)列{Sn•cos（bnπ）}的前n項和Tn．
解答：解：（1）設(shè)f（x）+2=，即．
取，代入f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0，則f（1）≤0，f（1）≥0同時成立，
故f（1）=0，解得a=，故；
（2）∵=．
∴3=．
即．故數(shù)列{}為等差數(shù)列．
∵，∴，；
（3）∵bn=3n-2，∴
即，∴．
①當n為偶數(shù)時，Tn=（-S1+S2）+（-S3+S4）+…+（-Sn-1+Sn）
=．
②當n為奇數(shù)時，
．
綜上，．
點評：本題考查了一元二次不等式的解法，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了數(shù)列的遞推式及數(shù)列的和，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，考查了學生綜合處理和解決問題的能力，是有一定難度題目．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知y=f（x）為二次函數(shù)，若y=f（x）在x=2處取得最小值-4，且y=f（x）的圖象經(jīng)過原點，
（1）求f（x）的表達式；
（2）求函數(shù)y=f(log
1
2
x)在區(qū)間[
1
8
，2]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為二次函數(shù)，不等式f（x）+2＜0的解集為(-1，
1
3
)，且對任意的a，β∈R，恒有f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若數(shù)列{an}滿足a1=1，3an+1=1-
1
f(an+1)-f(an)-
3
2
(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）設(shè)bn=
1
an
，在（2）的條件下，若數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，求數(shù)列{Sn•cos（bnπ）}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，不等式f（x）≥0的解集為{x|-2≤x≤3}，且f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值是4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=x+5-f（x），若對任意的x∈(-∞，-
3
4
]，g(
x
m
)-g(x-1)≤4[m2g(x)+g(m)]均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x），如果對任意x∈（0，+∞），恒有f（kx）=kf（x）（k≥2，k∈N*）成立，則稱f（x）為k階縮放函數(shù)．
（1）已知函數(shù)f（x）為二階縮放函數(shù)，且當x∈（1，2]時，f(x)=1+log
1
2
x，求f(2
2
)的值；
（2）已知函數(shù)f（x）為二階縮放函數(shù)，且當x∈（1，2]時，f(x)=
2x-x2
，求證：函數(shù)y=f（x）-x在（1，8）上無零點；
（3）已知函數(shù)f（x）為k階縮放函數(shù)，且當x∈（1，k]時，f（x）的取值范圍是[0，1），求f（x）在（0，kn+1]（n∈N）上的取值范圍．

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