Question

4．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+2|
（Ⅰ） 解關于x的不等式f（x）≥4；
（Ⅱ） 若關于x的不等式f（x）≥c恒成立，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把要解的不等式等價轉化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由題意可得f（x）_min≥c，利用絕對值三角不等式求得|x-1|+|x+2|的最小值為3，可得c的范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+2|，故由關于x的不等式f（x）≥4可得$\left\{\begin{array}{l}{x≤-2}\\{1-x-x-2≥4}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜1}\\{1-x+x+2≥4}\end{array}\right.$②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x-1+x+2≥4}\end{array}\right.$③．
解①求得x≤-$\frac{5}{2}$，解②求得x∈∅，解③求得x≥$\frac{3}{2}$．
綜上可得，x≤-$\frac{5}{2}$，或x≥$\frac{3}{2}$，故原不等式的解集為{x|x≤-$\frac{5}{2}$，或x≥$\frac{3}{2}$ }．
（Ⅱ） 若關于x的不等式f（x）≥c恒成立，則f（x）_min≥c．
∵|x-1|+|x+2|≥|x-1-（x+2）|=3，當且僅當-2≤x≤1時，取等號，∴|x-1|+|x+2|的最小值為3，即c≤3，
即c的范圍為（-∞，3]．

點評 本題主要考查絕對值三角不等式的應用，絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉化數(shù)學思想，屬于中檔題．