Question

對x∈R，定義sgn(x)=

1，x＞0 0，x=0 -1，x＜0

．
（I）求方程x²-3x+1=sgn（x）的根；
（II）求函數(shù)f（x）=sgn（x-2）（x-lnx）的單調(diào)區(qū)間；
（III）記點集S={（x，y）|x^sgn（x-1）•y^sgn（y-1）=10}，x＞0，y＞0，點集T={（lgx，lgy）|（x，y）∈S}，求點集T圍成的區(qū)域的面積．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)定義sgn(x)=

1，x＞0 0，x=0 -1，x＜0

，對x進(jìn)行討論，解一元二次方程即可求得結(jié)果；
（II）根據(jù)函數(shù)解析式求得函數(shù)的定義域{x|x＞0}，對x進(jìn)行討論，求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于零（小于零），解不等式即可求得函數(shù)的單調(diào)遞增（單調(diào)遞減）區(qū)間；
（III）根據(jù)定義求得點集TT={（x，y）||x|+|y|=1}，從而點集T圍成的區(qū)域的面積．

解答：解：（I）當(dāng)x＞0時，sgn（x）=1，解方程x²-3x+1=1，得x=0（舍）或x=3
當(dāng)x=0時，sgn（x）=0，0不是方程x²-3x+1=0的解
當(dāng)x＜0時，sgn（x）=-1，解方程x²-3x+1=-1，得x=1（舍）或x=2（舍）
綜上所述，x=3是方程x²-3x+1=sgn（x）的根．（3分）
（II）函數(shù)f（x）的定義域是{x|x＞0}（4分）
當(dāng)x＞2時，f（x）=x-lnx，f′(x)=1-

1

x

＞0恒成立（5分）
當(dāng)0＜x＜2時，f（x）=-（x-lnx），f′(x)=

1

x

-1
解f'（x）＞0得0＜x＜1或x＞2（16分），
解f'（x）＜0得1＜x＜2（7分）
綜上所述，函數(shù)f（x）=sgn（x-2）•（x-lnx）的單調(diào)增區(qū)間是（0，1），（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（1，2）．（8分）
（ III）設(shè)點P（x，y）∈T，則（10^x，10^y）∈S．
于是有(10x)sgn(10x-1)•(10y)sgn(10y-1)=10，
得x•sgn（10^x-1）+y•sgn（10^y-1）=1
當(dāng)x＞0時，10^x-1＞0，sgn（10^x-1）=1，xsgn（10^x-1）=x
當(dāng)x＜0時，10^x-1＜0，sgn（10^x-1）=-1，xsgn（10^x-1）=-x
∴xsgn（10^x-1）=|x|
同理，T={（x，y）||x|+|y|=1}（11分）
點集T圍成的區(qū)域是一個邊長為

2

的正方形，面積為2．（13分）

點評：此題是個中檔題．考查分段函數(shù)分段處理，這是研究分段函數(shù)圖象和性質(zhì)最核心的理念，具體做法是：分段函數(shù)的定義域、值域是各段上x、y取值范圍的并集，分段函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性要在各段上分別論證；分段函數(shù)的最大值，是各段上最大值中的最大者，同時考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力和計算能力．