Question

對x∈R，定義函數(shù)sgn（x）=

1，x＞0 0，x=0 -1，x＜0

（1）求方程 x²-3x+1=sgn（x） 的根；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=[sgn（x-2）]•（x²-2|x|）f（x）=[sgn（x-2）]•x2-2

.

x

.

，若關(guān)于x的方程f（x）=x+a有3個互異的實根，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）記點集S={（x，y）|x^sgn（x-1）•y^sgn（y-1）=10，x＞0，y＞0} s={（x，y），點集T={（lgx，lgy）|（x，y）∈S}，求點集T圍成的區(qū)域的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)分段落函數(shù)的性質(zhì)，利用分類討論思想能夠推導(dǎo)方程x²-3x+1=sgn（x）的根．
（2）由于函數(shù)f(x)=

x2-2x ，          x≥2  -x2+2x ，  0＜x＜2 -x2-2x ，       x≤0

，把原方程轉(zhuǎn)化為：a=

x2-3x ，        x≥2 -x2+x ，  0＜x＜2 -x2-3x ，      x≤0

．利用數(shù)形結(jié)合思想能推導(dǎo)出關(guān)于x的方程f（x）=x+a有3個互異的實根．
（3）設(shè)點P（x，y）∈T，則（10^x，10^y）∈S．于是有x•sgn（10^x-1）+y•sgn（10^y-1）=1．由此利用分類討論思想能求出點集T圍成的區(qū)域的面積．

解答：解：（1）當(dāng)x＞0時，sgn（x）=1，
解方程x²-3x+1=1，得x=3（x=0不合題意舍去）；
當(dāng)x=0時，sgn（x）=0，0不是方程x²-3x+1=0的解；
當(dāng)x＜0時，sgn（x）=-1，
解方程x²-3x+1=-1，得x=1或x=2（均不合題意舍去）．
綜上所述，x=3是方程x²-3x+1=sgn（x）的根．
（2）由于函數(shù)f(x)=

x2-2x ，          x≥2  -x2+2x ，  0＜x＜2 -x2-2x ，       x≤0

，
則原方程轉(zhuǎn)化為：a=

x2-3x ，        x≥2 -x2+x ，  0＜x＜2 -x2-3x ，      x≤0

．
數(shù)形結(jié)合可知：
①a＜-2時，原方程有1個實根；
②當(dāng)a=-2時，原方程有2個實根；
③當(dāng)-2＜a＜0時，原方程有3個實根；
④當(dāng)a=0時，原方程有4個實根；
⑤當(dāng)0＜a＜

1

4

時，原方程有5個實根；
⑥當(dāng)a=

1

4

時，原方程有4個實根；
⑦當(dāng)

1

4

＜a＜

9

4

時，原方程有3個實根；
⑧當(dāng)a=

9

4

時，原方程有2個實根；
⑨當(dāng)a＞

9

4

時，原方程有1個實根．
故當(dāng)a∈( -2 ， 0 )∪( 

1

4

 ， 

9

4

 )時，
關(guān)于x的方程f（x）=x+a有3個互異的實根．
（3）設(shè)點P（x，y）∈T，則（10^x，10^y）∈S．
于是有（10^x）^sgn（10^x-1）•（10^y）^sgn（10^y-1）=10，
得x•sgn（10^x-1）+y•sgn（10^y-1）=1．
當(dāng)x＞0時，10^x-1＞0，sgn（（10^x-1），xsgn（10^x-1）；
當(dāng)x＜0時，10^x-1＜0，sgn（10^x-1）=-1，xsgn（10^x-1）=-1；
當(dāng)x=0時，xsgn（10^x-1）=0=0．
∴x•sgn（10^x-1）=|x|，
同理，y•sgn（10^y-1）=|y|．
∴T={（x，y）||x|+|y|=1}，
點集T圍成的區(qū)域是一個邊長為

2

的正方形，面積為2．

點評：本題考查方程的根的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，考查區(qū)域面積的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．