Question

某旅游景點(diǎn)預(yù)計(jì)2013年1月份起前x個(gè)月的旅游人數(shù)的和p（x）（單位：萬人）與x的關(guān)系近似地滿足p（x）=x（x+1）•（39-2x），（x∈N^*，且x≤12）．已知第x月的人均消費(fèi)額q（x）（單位：元）與x的近似關(guān)系是q（x）=
（I）寫出2013年第x月的旅游人數(shù)f（x）（單位：人）與x的函數(shù)關(guān)系式；
（II）試問2013年第幾月旅游消費(fèi)總額最大，最大月旅游消費(fèi)總額為多少元？

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=p（1）=37，
當(dāng)2≤x≤12，且x∈N^*時(shí)，
f（x）=P（x）-P（x-1）=x（x+1）（39-2x）-（x-1）x（41-2x）=-3x²+40x．…（5分）
驗(yàn)證x=1符合f（x））=-3x²+40x（x∈N^*，且1≤x≤12））…（6分）
（Ⅱ）第x月旅游消費(fèi)總額為g（x）=（x∈N^*）
即g（x）=（x∈N^*）…（8分）
當(dāng)1≤x≤6，且x∈N^*時(shí)，g′（x）=18x²-370x+1400，令g′（x）=0，解得x=5，x=（舍去）．
∴當(dāng)1≤x＜5時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)5＜x≤6時(shí)，g′（x）＜0，
∴當(dāng)x=5時(shí)，g（x）_max=g（5）=3125（萬元）．…（10分）
當(dāng)7≤x≤12，且x∈N^*時(shí)，g（x）=-480x+6400是減函數(shù)，∴當(dāng)x=7時(shí)，g（x）_max=g（7）=3040（萬元），
綜上，2013年第5月份的旅游消費(fèi)總額最大，最大月旅游消費(fèi)總額為3125萬元．…（12分）
分析：（Ⅰ）根據(jù)所給的前x個(gè)月旅游人數(shù)的和，可以得到第x個(gè)月的旅游人數(shù)，注意驗(yàn)證第一個(gè)月的旅游人數(shù)符合表示式．
（Ⅱ）根據(jù)所給的表示式，寫出第x月旅游消費(fèi)總額，是一個(gè)分段函數(shù)，求出分段函數(shù)的最大值，把兩個(gè)最大值進(jìn)行比較，得到最大月旅游消費(fèi)總額．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的選擇和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是寫出分段函數(shù)，要分別求出兩段函數(shù)的最大值，進(jìn)行比較．