Question

5．設數(shù)列{a_n}滿足a₁=6，a₂=-3，2a_n+2=a_n+1+a_n．
（1）記b_n=a_n+1-a_n，證明：{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用2a_n+2=a_n+1+a_n，b_n=a_n+1-a_n，即可證明{b_n}是以-9為首項，-$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）可知b_n=$-9•（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，求出數(shù)列{a_n}的通項、前n項和S_n，即可求出最大值和最小值．

解答 （1）證明：∵2a_n+2=a_n+1+a_n，b_n=a_n+1-a_n，
∴b_n+1=-$\frac{1}{2}$b_n，
∵a₁=6，a₂=-3，∴b₁=-9，
∴{b_n}是以-9為首項，-$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）可知b_n=$-9•（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴a_n=b₁+b₂+…+b_n-1+a₁=$6×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=6×$\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}{1+\frac{1}{2}}$，
∴數(shù)列{a_n}的前n項和S_n的最大值為6，最小值為3．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項與求和，屬于中檔題．