Question

15．已知命題p：方程$\frac{x^2}{m+1}+\frac{y^2}{3-m}=1$表示焦點在y軸上的橢圓，命題q：關(guān)于x的方程x²+2mx+2m+3=0無實根，若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，則p，q為一個真命題，一個假命題，進而可得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：∵方程$\frac{x^2}{m+1}+\frac{y^2}{3-m}=1$表示焦點在y軸上的橢圓，
∴0＜m+1＜3-m，
解得：-1＜m＜1，
∴若命題p為真命題，求實數(shù)m的取值范圍是（-1，1）；
若關(guān)于x的方程x²+2mx+2m+3=0無實根，則判別式△=4m²-4（2m+3）＜0，
即m²-2m-3＜0，得-1＜m＜3．
若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，則p，q為一個真命題，一個假命題，
若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}-1＜m＜1\\ m≥3，或m≤-1\end{array}\right.$，此時無解，
柔p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}-1＜m＜3\\ m≥1，或m≤-1\end{array}\right.$，得1≤m＜3．
綜上，實數(shù)m的取值范圍是[1，3）．

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了橢圓的標準方程，方程根的存在性及個數(shù)判斷，難度中檔．