Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，a_n+1=2S_n+1，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₃a_n+1，求數(shù)列{

bn

an

}的前n項(xiàng)和T_n，并證明：1≤T_n＜

9

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)和和之間的關(guān)系，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出b_n=log₃a_n+1的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法即可求數(shù)列{

bn

an

}的前n項(xiàng)和T_n，并證明：1≤T_n＜

9

4

．

解答： 解：（1）由題意得a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1，n≥2，
兩式相減得a_n+1-a_n+1=2S_n-2S_n-1=a_n+1=2a_n，
則a_n+1=3a_n，n≥2，
所以當(dāng)n≥2時(shí)，{a_n}是以3為公比的等比數(shù)列．
因?yàn)閍₂=2S₁+1=2+1=3，

a2

a1

=3，
所以，

an+1

an

=3，對任意正整數(shù)成立　{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列．
（2）由（1得知a_n=3^n-1，b_n=log₃a_n+1=log₃3ⁿ=n，

bn

an

=

n

3n-1

=n•（

1

3

）^n-1，
T_n=1+2×

1

3

+3•（

1

3

）²+…+n•（

1

3

）^n-1      ①

1

3

T_n=

1

3

+2•（

1

3

）²+…+（n-1）•（

1

3

）^n-1+n•（

1

3

）ⁿ    ②
①-②得

2

3

T_n=1+

1

3

+（

1

3

）²+…+（

1

3

）^n-1-n•（

1

3

）ⁿ=

1-( 1 3 )n

1- 1 3

-n•（

1

3

）ⁿ，
所以T_n=

9

4

-（

9

4

+

3

2

n）•（

1

3

）ⁿ，
因?yàn)椋?span id="rrqjhfo" class="MathJye">

9

4

+

3

2

n）•（

1

3

）ⁿ＞0，
所以T_n=

9

4

-（

9

4

+

3

2

n）•（

1

3

）ⁿ＜

9

4

，
又因?yàn)門_n+1-T_n=

n+1

3n

＞0，所以數(shù)列{T_n}單調(diào)遞增，所以T_n的最小值為T₁=1，
所以1≤T_n＜

9

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，以及數(shù)列求和，利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．