Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-ax+a）e^x-x²，a∈R
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在x=0處取得極小值，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（I）f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，可得：f'（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，通過分離參數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（II）考查f（x）的單調(diào)性，令f'（x）＞0，即x[（x+2-a）e^x-2]＞0．轉(zhuǎn)化為

x＞0 x+2- 2 ex ＞a

或

x＜0 x+2- 2 e2 ＜a

．（*）由于g(x)=x+2-

2

ex

單調(diào)遞增，設方程g(x)=x+2-

2

ex

=a的根為x₀．通過對x₀分類討論，研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=（2x-a）e^x+（x²-ax+a）e^x-2x=x[（x+2-a）e^x-2]，
∵f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
∴f′（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，
即（x+2-a）e^x-2≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，即x+2-

2

ex

≥a在（0，+∞）內(nèi)恒成立．
又函數(shù)g(x)=x+2-

2

ex

在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（x）＞g（0）=0．
∴a≤0．
（Ⅱ）考查f（x）的單調(diào)性，令f′（x）＞0，即x[（x+2-a）e^x-2]＞0
∴

x＞0 (x+2-a)ex-2＞0

或

x＜0 (x+2-a)ex-2＜0

，即

x＞0 x+2- 2 ex ＞a

或

x＜0 x+2- 2 e2 ＜a

．（*）
∵g(x)=x+2-

2

ex

單調(diào)遞增，設方程g(x)=x+2-

2

ex

=a的根為x₀
①若x₀＞0，則不等式組（*）的解集為（-∞，0）和（x₀，+∞），
此時f（x）在（-∞，0）和（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，x₀）上單調(diào)遞減，與f（x）在x=0處取極小值矛盾；
②若x₀=0，則不等式組（*）的解集為（-∞，0）和（0，+∞），此時f（x）在R上單調(diào)遞增，與f（x）在x=0處取極小值矛盾；
③若x₀＜0，則不等式組（*）的解集為（-∞，x₀）和（0，+∞），
此時f（x）在（-∞，x₀）和（0，+∞）上單調(diào)遞增，在（x₀，0）上單調(diào)遞減，滿足f（x）在x=0處取極小值，
由g（x）單調(diào)性，a=x0+2-

2

ex0

＜g(0)=0．
綜上所述：a＜0．

點評：本題考查了利用函數(shù)導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論的思想方法，考查了問題的等價轉(zhuǎn)化方法，屬于難題．