精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率 $數(shù)學公式$ ，且點P（-2，0）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知A、B為橢圓C上的動點，當PA⊥PB時，求證：直線AB恒過一個定點．并求出該定點的坐標．

解：（1）設橢圓的方程為： $\text{[math]}$ ，
由題意得 $\text{[math]}$ ，a=2，所以c= $\text{[math]}$ ，
又b²=a²-c²=1，
所以橢圓的方程為： $\text{[math]}$ ；
（2）①當直線l不垂直于x軸時，設AB：y=kx+m，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
由 $\text{[math]}$ ，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴12k²+5m²-16km=0，即（6k-5m）（2k-m）=0，解得 $\text{[math]}$ ，
當 $\text{[math]}$ 時， $\text{[math]}$ 恒過定點 $\text{[math]}$ ；
當m=2k時，AB：y=kx+2k恒過定點（-2，0），不符合題意舍去；
②當直線l垂直于x軸時，直線AB： $\text{[math]}$ ，則AB與橢圓C相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，∵PA⊥PB，滿足題意，
綜上可知，直線AB恒過定點，且定點坐標為 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）設橢圓的方程為： $\text{[math]}$ ，由題意得 $\text{[math]}$ ，a=2，再由b²=a²-c²可求得c，b；
（2）分情況討論：①當直線l不垂直于x軸時，設AB：y=kx+m，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），與橢圓方程聯(lián)立方程組消掉y得x的一元二次方程，由韋達定理即及 $\text{[math]}$ =0可得m，k的關系式，分別代入直線方程可求得定點坐標，②當直線l垂直于x軸時，直線AB： $\text{[math]}$ ，檢驗即可；
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系及橢圓方程的求解，考查分類討論思想，考查學生分析問題解決問題的能力．

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A.
8
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12
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24
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48

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已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率，且點P（-2，0）在橢圓C上．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）已知A、B為橢圓C上的動點，當PA⊥PB時，求證：直線AB恒過一個定點．并求出該定點的坐標．

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