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如圖，已知橢圓
x2
2
+y2=1，A、B為橢圓與x軸的交點，DA⊥AB，CB⊥AB，且|DA|=3
2
，|CB|=
2
，動點P在x軸上方的
AB
上移動，則S△PCD的最小值
4-
6
4-
6
．
分析：過點P作PH垂直x軸，并且交x軸于點H，設點P（
2
cosθ，sinθ）．由題意可得：S梯形ABCD=
(
2
+3
2
)×2
2
2
=8，并且S梯形ABCD=S梯形AHPD+S梯形HBCP+S△PCD，若S△PCD最小，則S梯形AHPD+S梯形HBCP最大，再表示出兩個梯形的面積和，進而利用三角函數的有關性質求出答案．
解答：解：過點P作PH垂直x軸，并且交x軸于點H，
因為橢圓的方程為：
x2
2
+y2=1，并且動點P在x軸上方的
AB
上移動，
所以設點P（
2
cosθ，sinθ）．
因為S梯形ABCD=
(
2
+3
2
)×2
2
2
=8，并且S梯形ABCD=S梯形AHPD+S梯形HBCP+S△PCD，
所以若S△PCD最小，則S梯形AHPD+S梯形HBCP最大．
因為S梯形AHPD+S梯形HBCP=
(sinθ+3
2
)(
2
+
2
cosθ)
2
+
(sinθ+
2
)(
2
-
2
cosθ)
2
=
2
sinθ+2cosθ+4=
6
sin（θ+α）+4，
所以由三角函數的性質可得：
2
sinθ+2cosθ+8的最大值為
6
+4，
所以S△PCD最小值為：8-（
6
+4）=4-
6
．
故答案為：4-
6
．
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握橢圓的參數方程與三角函數的有關性質，以及梯形的面積公式等知識點，此題綜合性較強，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知過點D（-2，0）的直線l與橢圓
x2
2
+y2=1交于不同的兩點A、B，點M是弦AB的中點
（Ⅰ）若
OP
=
OA
+
OB
，求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）求|
MD
MA
|的取值范圍

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•鐘祥市模擬）如圖，已知橢圓
x2
2
+y2=1內有一點M，過M作兩條動直線AC、BD分別交橢圓于A、C和B、D兩點，若|
AB
|2+|
CD
|2=|
BC
|2+|
AD
|2．

（1）證明：AC⊥BD；
（2）若M點恰好為橢圓中心O
（i）四邊形ABCD是否存在內切圓？若存在，求其內切圓方程；若不存在，請說明理由．
（ii）求弦AB長的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•嘉定區(qū)三模）如圖，已知橢圓
x2
2
+y2=1的左右焦點分別為F1、F2，橢圓的下頂點為A，點P是橢圓上任意一點，，圓M是以PF2為直徑的圓．
（1）若圓M過原點O，求圓M的方程；
（2）當圓M的面積為
π
8
時，求PA所在直線的方程；
（3）寫出一個定圓的方程，使得無論點P在橢圓的什么位置，該定圓總與圓M相切．請寫出你的探究過程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，已知橢圓
x2
2
+y2=1，A、B為橢圓與x軸的交點，DA⊥AB，CB⊥AB，且|DA|=3
2
，|CB|=
2
，動點P在x軸上方的


AB
上移動，則S△PCD的最小值______．
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